A origem dos sobrenomes “Lemes” e “Leme” é a mesma?

Sim, os dois com a mesma origem. Mas isso apenas em termos de etimologia (da formação da palavra ou do sobrenome — ou apelido, em português de Portugal). Agora em termos de famílias, daí já é outra história, ocorre um enorme número de linhagens, ramos e grupos familiares próximos, afastados ou até mesmo totalmente distintos.

Veja o texto extraído de um site relacionado ao sobrenome Lemes:
“A família Leme, que da Ilha da Madeira passou à vila de São Vicente pelos anos de 1544 a 1550 prendia-se a antiga e nobre família que possuiu muitos feudos na cidade de Bruges do antigo condado de Flandres, nos Países Baixos (Hoje, norte da Bélgica). O seu primitivo apelido em Flandres era Lems, que significa argila ou greda (barro fino e delicado), com o que a família quis salientar a sua nobreza entre os seus compatriotas; em Portugal, esse apelido foi corrompido com a pronunciação portuguesa a verdadeira voz do seu apelido, se chamou Lemes o que era Lems, mudando totalmente de significação, porque Lemes, como todos sabemos, é nome próprio de instrumento, que serve para o governo das embarcações, e Lems, que na língua flamenga se exprime prolongando nos beiços a pronunciação do m, significa o mesmo que na língua latina, argila, e no nosso idioma greda, que é uma espécie de barro, mais mimoso e mais selecto; distintivo, com que a soberba desta linhagem quis fazer conhecida a sua nobreza entre os seus naturais.”
Fonte: http://david25.vilabol.uol.com.br/FAMiLIALEMES.htm

Espero ter auxiliado.

E para divulgação e intercâmbio de informações desses e de outros sobrenomes há também o site Genealogia Net, com significativo número de participantes:
http://www.genealogia.net